Подтемы:
-
Действительные числа
(147 задач)
Числовые последовательности
(75 задач)
Функции одной переменной. Непрерывность
(98 задач)
Производная
(92 задачи)
Интеграл
(9 задач)
Ряды
(8 задач)
Последовательности и ряды функций
(5 задач)
Функции нескольких переменных
(5 задач)
Математический анализ (прочее)
(1 задача)
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.
Решение
Убрать все задачи
Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.
Решение
Задачи
Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 416]
Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее.
Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок,
соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через
точку A и делящаяся точкой A пополам.
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены
точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а
их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая
ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же
он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к
$b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что
независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент
окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму
$$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$
Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 416]
Задача 109834 |
|
|
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
|
|
Решение |
Задача 35575 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66202 |
|
|
Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α2, и так далее.
а) Докажите, что αn < 3/16 для некоторого n .
б) Может ли случиться, что αn > 7/40 при всех натуральных n?
|
|
|
Решение |
Задача 66578 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67257 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 416]
