Каталог по темам

Выбрано 8 задач

Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ , точка $M$ – середина стороны $AC$ . Прямая $BO$ пересекает высоты $AA_1$ и $CC_1$ в точках $H_a$ и $H_c$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BH_aA$ и $BH_cC$ вторично пересекаются в точке $K$ . Докажите, что $K$ лежит на прямой $BM$ .

Решение

Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные прямые под равными углами.

Решение

Автор: Токарев С.И.

Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
а) сто чисел,
б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (a_k = a_k–2 – a_k–1)?

Решение

Пусть A, B, C, D - последовательные вершины квадрата, а точка O расположена внутри квадрата. Известно, что OC = OD = $\sqrt{10}$ и OB = $\sqrt{26}$ . Найдите площадь квадрата.

Решение

Автор: Токарев С.И.

В однокруговом шахматном турнире назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший.
Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.

Решение

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M, биссектрисы B₁B₂ и C₁C₂ треугольника AB₁C₁ пересекаются в точке N.
Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Решение

Автор: Волчкевич М.А.

В четырёхугольнике ABCD AB = CD, M и K – середины BC и AD. Докажите, что угол между MK и AC равен полусумме углов BAC и DCA.

Решение

Найдите радиус окружности, вписанной в ромб со стороной a и острым углом 60^o.

Решение

Задача 53254

Задача 53490

Задача 53554

Задача 53674

Задача 54309