В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника.
Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке (точка Жергона).

   Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 512]      

Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ – середина дуги $AC$, не содержащей точку $B$. На отрезке $DI$ отметили точку $L$ такую, что $DL=BI/2$. Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами.

Прислать комментарий

Решение

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Прислать комментарий

Решение

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами  AC = 3  и  BC = 4.  Через точку C проведена прямая, лежащая вне треугольника и образующая с катетами углы, равные 45°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, B и касающейся этой прямой.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC с острыми углами при вершинах A и C взята точка K, причём  ∠AKB = 90°,  ∠CKB = 180° – ∠C.
В каком отношении прямая BK делит сторону AC, если высота, опущенная на AC, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины A?

Прислать комментарий

Решение

В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника.
Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке (точка Жергона).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 512]