Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 г, 3 г, 9 г, 27 г и 81 г. Как уравновесить груз в 61 г, положенный на чашу весов?

   Решение

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, равны 7 и 9, а медиана AM равна 8. Точки P и Q симметричны точке M относительно сторон AC и AB соответственно. Найдите периметр четырёхугольника APMQ.

   Решение

Даны две параллельные прямые и секущая. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся всех трёх прямых.

   Решение

В угол величины 2 вписаны две касающиеся окружности. Найдите отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающейся первых двух и одной из сторон угла.

   Решение

Сфера, вписанная в пирамиду SABC, касается граней SAB, SBC, SCA в точках D, E, F соответственно.
Найдите все возможные значения суммы углов SDA, SEB и SFC.

   Решение

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

   Решение

Две прямые проходят через точку M и касаются окружности в точках A и B. Проведя радиус OB, продолжают его за точку B на расстояние BC = OB. Докажите, что AMC = 3BMC.

   Решение

Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа  x + y,  x – y,  xy и ^x/_y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.

   Решение

В треугольнике KMN проведены высота NA, биссектриса NB и медиана NC, которые делят угол KNM на четыре равные части. Найдите длины высоты NA, биссектрисы NB и медианы NC, если радиус описанной около треугольника KMN окружности равен R.

   Решение

В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

   Решение

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешне в точке C. К ним проведена общая внешняя касательная AB, где A и B — точки касания. Найдите стороны треугольника ABC.

   Решение

а) Натуральные числа x, x² и x³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?
б) Тот же вопрос для натуральных чисел x, x², x³, ..., x²⁰¹⁵.

   Решение

Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению   abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что  

   Решение

Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если угол AOD равен 110^o.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой данный круг и данный отрезок видны под данными углами.

   Решение

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 772]      

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой данный круг и данный отрезок видны под данными углами.

Прислать комментарий

Решение

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен a.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 4, радиус вписанной окружности равен 3. Прямая AE пересекает высоту BD в точке E, а вписанную окружность — в точках M и N (M лежит между A и E), ED = 2. Найдите EN.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренную трапецию KLMN ( LMKN) вписана окружность, касающася сторон LM и KN в точках P и Q соответственно, KN = 4, PQ = 4. Прямая CN пересекает отрезок PQ в точке C, а вписанную окружность — в точках A и B (A между N и C), PC : CQ = 3. Найдите AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 772]