Вершины $M$, $N$, $K$ прямоугольника $KLMN$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $CA$ соответственно правильного треугольника $ABC$ так, что $AM=2$, $KC=1$, а вершина $L$ лежит вне треугольника. Найдите угол $KMN$.

   Решение

В треугольнике ABC угол C прямой. На катете CB как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, точка N – середина этой полуокружности. Докажите, что прямая AN делит пополам биссектрису CL.

   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

   Решение

Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).

   Решение

В треугольнике PQR медиана, проведённая из вершины Q, равна . Окружности с центрами в вершинах P и R и радиусами соответственно 5 и 1 касаются друг друга, а вершина Q лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей. Найдите площадь S треугольника PQR, если известно, что S < 7.

   Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 117]      

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности с центрами A и B и радиусами соответственно 2 и 1 касаются друг друга. Точка C лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии от середины отрезка AB. Найдите площадь S треугольника ABC, если известно, что S > 2.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике PQR медиана, проведённая из вершины Q, равна . Окружности с центрами в вершинах P и R и радиусами соответственно 5 и 1 касаются друг друга, а вершина Q лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей. Найдите площадь S треугольника PQR, если известно, что S < 7.

Прислать комментарий

Решение

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

Прислать комментарий

Решение

Общая внешняя касательная к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ касается их в точках $T_1$, $T_2$ соответственно. Пусть $A$ – произвольная точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_1$, а $B$ – точка на продолжении отрезка $T_1T_2$ за точку $T_2$ такая, что $AT_1=BT_2$. Отличные от прямой $T_1T_2$ касательные из $A$ к $\omega_1$ и из $B$ к $\omega_2$ пересекаются в точке $C$. Докажите, что нагелианы всех треугольников $ABC$ из вершины $C$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 117]