Каталог по темам

Выбрано 14 задач

В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены соотношения AB = BD, ∠ABD = ∠DBC. На диагонали BD нашлась такая точка K, что BK = BC.
Докажите, что ∠KAD = ∠KCD.

Решение

Прямая l пересекает стороны AB и AD и диагональ AC параллелограмма ABCD в точках E, F и G соответственно. Докажите, что ^AB/_AE + ^AD/_AF = ^AC/_AG.

Решение

В точках A и B прямой, по одну сторону от неё, восстановлены два перпендикуляра AA₁ = a и BB₁ = b.
Докажите, что точка пересечения прямых AB₁ и A₁B будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой AB независимо от положения точек A и B.

Решение

В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что M ≥ N.

Решение

(sin x, sin y, sin z) – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность (cos x, cos y, cos z) также являться арифметической прогрессией?

Решение

Решите уравнение

arcsin $\displaystyle {\dfrac{x^2-8}{8}}$ = 2 arcsin $\displaystyle {\dfrac{x}{4}}$ - $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$ .

Решение

Пусть c — наибольшая сторона треугольника со сторонами a, b, c. Докажите, что если a² + b² > c², то треугольник остроугольный, а если a² + b² < c², — тупоугольный.

Решение

На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении 3 : 4. Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?

Решение

Автор: Волчкевич М.А.

В выпуклом четырехугольнике АВСD точка Е — середина CD, F — середина АD, K — точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.

Решение

Автор: Анджанс А.

64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)

Решение

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что BL = СМ. Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

Решение

Докажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60° (либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в вершину C.

Решение

Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30^o и 45^o. Найдите отношение сторон параллелограмма.

Решение

Высота трапеции ABCD равна 7, основания AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO : OC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника OEC.

Решение

Задача 54654

Задача 54987

Задача 55010

Задача 55022

Задача 55024