На продолжениях медиан AK, BL и CM треугольника ABC взяты точки P, Q и R, причём KP = AK, LQ = BL и MR = CM. Найдите площадь треугольника PQR, если площадь треугольника ABC равна 1.

   Решение

Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла.
По какой траектории движется середина этого отрезка?

   Решение

Даны две непересекающиеся окружности радиусов R и 2R. К ним проведены общие касательные, которые пересекаются в точке A отрезка, соединяющего центры окружностей. Расстояние между центрами окружностей равно 2R. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных, заключёнными между точками касания и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

   Решение

Докажите, что число состоящее из 243 единиц делится на 243.

   Решение

Внутри выпуклого четырёхугольника расположены четыре окружности, каждая из которых касается двух соседних сторон четырёхугольника и двух окружностей (внешним образом). Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите, что по крайней мере две из данных окружностей равны.

   Решение

На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AB в точке D. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BCD, если известно, что AC = 15, BC = 20 и ABC = ACD.

   Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны c и d и пересекаются под углом 45^o. Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника.

   Решение

Найдите наибольшее значение функции y = ln (x+4)5-5x на отрезке [-3,5;0] .

   Решение

Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности, причём центр O окружности расположен внутри четырёхугольника ABCD. Точки K, L, M и N – середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что  ∠KON + ∠MOL = 180°.

   Решение

На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC₁, A₁BC и AB₁C.
Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Найдите геометрическое место точек, из которых проведены касательные к данной окружности, равные заданному отрезку.

   Решение

Докажите, что  1ⁿ + 2ⁿ + ... + (n – 1)ⁿ  делится на n при нечётном n.

   Решение

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен a.

   Решение

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 772]      

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой данный круг и данный отрезок видны под данными углами.

Прислать комментарий

Решение

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен a.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 4, радиус вписанной окружности равен 3. Прямая AE пересекает высоту BD в точке E, а вписанную окружность — в точках M и N (M лежит между A и E), ED = 2. Найдите EN.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренную трапецию KLMN ( LMKN) вписана окружность, касающася сторон LM и KN в точках P и Q соответственно, KN = 4, PQ = 4. Прямая CN пересекает отрезок PQ в точке C, а вписанную окружность — в точках A и B (A между N и C), PC : CQ = 3. Найдите AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 >> [Всего задач: 772]