Каталог по темам

Задачи

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 1275]

Задача 56603

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁; B₂ и C₂ — середины высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что $\triangle$ A₁B₂C₂ $\sim$ $\triangle$ ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56604

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На высотах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что $\triangle$ A₁B₁C₁ $\sim$ $\triangle$ ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56612

Тема:

[

Биссектриса делит дугу пополам

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что S_ABC = S_APEQ.

Прислать комментарий Решение

Задача 56624

Тема:

[

Три окружности пересекаются в одной точке

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точки A₁, B₁, C₁ движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A₁, B₁, C₁ к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56625

Тема:

[

Три окружности пересекаются в одной точке

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 1275]