Точки A₁, B₁, C₁ движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A₁, B₁, C₁ к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 1275]      

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁; B₂ и C₂ — середины высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что  A₁B₂C₂ ABC.

Прислать комментарий

Решение

На высотах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что  A₁B₁C₁ ABC.

Прислать комментарий

Решение

Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что  S_ABC = S_APEQ.

Прислать комментарий

Решение

Точки A₁, B₁, C₁ движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A₁B₁C₁ подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A₁, B₁, C₁ к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 1275]