Версия для печати
Убрать все задачи
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Решение
Две окружности пересекаются в точках
M и
K.
Через
M и
K проведены прямые
AB и
CD соответственно,
пересекающие первую окружность в точках
A и
C, вторую
в точках
B и
D. Докажите, что
AC ||
BD.
Решение
С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой две
данные окружности были бы видны под данными углами.
Решение
Попав в новую компанию, Чичиков узнавал, кто с кем знаком. А чтобы запомнить это, он рисовал окружность и изображал каждого члена компании хордой, причём хорды знакомых между собой пересекались, а незнакомых – нет. Чичиков уверен, что такой набор хорд есть для любой компании. Прав ли он? (Совпадение концов хорд считается пересечением.)
Решение
Пусть m, n и k – натуральные числа, причём m > n. Какое из двух чисел больше:
или 
(В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)
Решение
Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.
Решение
Через вершину A остроугольного треугольника ABC проведена
прямая, параллельная стороне BC, равной a, и пересекающая
окружности, построенные на сторонах AB и AC как на диаметрах, в
точках M и N, отличных от A. Найдите MN.
Решение
Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух
фиксированных точках (
эллиптический пучок),
либо касается радикальной оси в фиксированной точке (
параболический
пучок), либо не пересекает радикальную ось
(
гиперболический пучок).
Решение
Фильтр
