Версия для печати
Убрать все задачи

---

При изготовлении партии из  N ≥ 5  монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

   Решение

---

На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

   Решение

---

Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок  [0, 1]  разбит на  p + q  одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из  p + q – 2  чисел  ¹/_p, ²/_p, ..., ^p–1/_p,  ¹/_q, ²/_q, ..., ^q–1/_q.

   Решение

---

Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

   Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 292]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57334

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8

На основании AD трапеции ABCD нашлась точка E, обладающая тем свойством, что периметры треугольников ABE, BCE и CDE равны. Докажите, что тогда BC = AD/2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105093

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Кубические многочлены ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55228

Тема:   [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57316

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57321

Тема:   [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8

Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 292]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями