а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.

   Решение

Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.

   Решение

На плоскости лежат две одинаковые буквы . Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'. Длинные палочки разбиты на n равных частей точками A₁,..., A_{n - 1}; A₁',..., A_{n - 1}' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AA_i и A'A_i' пересекаются в точке X_i. Докажите, что точки X₁,..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

   Решение

а) Определение (смотри в справочнике) функций g_k,l(x) не позволяет вычислять их значения при  x = 1.  Но, поскольку функции g_k,l(x) являются многочленами, они определены и при  x = 1.  Докажите равенство  

б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение  x = 1?

   Решение

В пачке 20 карточек: синие, красные и желтые. Синих в шесть раз меньше, чем желтых, и красных меньше, чем желтых. Какое наименьшее количество карточек надо вытащить не глядя, чтобы среди них обязательно оказалась красная?

   Решение

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?

   Решение

На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?

   Решение

Разрежьте правильный шестиугольник на 5 частей и сложите из них квадрат.

   Решение

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.

   Решение

Поворот с центром O переводит прямую l₁ в прямую l₂, а точку A₁, лежащую на прямой l₁, — в точку A₂. Докажите, что точка пересечения прямых l₁ и l₂ лежит на описанной окружности треугольника A₁OA₂.

   Решение

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон CA и AB в точках B₁ и C₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках B₂ и C₂. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых B₁C₁ и B₂C₂.

   Решение

Докажите, что при инверсии с центром O прямая l, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O.

   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть d_a, d_b, d_c – расстояния от нее до прямых BC, CA, AB.
При каком положении точки O произведение d_ad_bd_c будет наибольшим?

   Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 258]      

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  ⁿ⁺¹/₄.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что из всех треугольников данной площади равносторонний имеет наименьший периметр.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть d_a, d_b, d_c – расстояния от нее до прямых BC, CA, AB.
При каком положении точки O произведение d_ad_bd_c будет наибольшим?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 258]