Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 239]

Задача 57692

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{CD}$ ) + ( $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AD}$ ) + ( $\overrightarrow{CA}$ , $\overrightarrow{BD}$ ) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 57693

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что $\overrightarrow{OH}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ . Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57694

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Докажите, что OH² = R²(1 - 8 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ ).

Прислать комментарий Решение

Задача 57695

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X₁, ..., X_n точки X на прямые A₁A₂, ..., A_nA₁. Пусть x_i — длина отрезка A_iX_i с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи A_iX_i и A_iA_{i + 1} сонаправлены). Докажите, что сумма x₁ + ... + x_n равна половине периметра многоугольника A₁...A_n.

Прислать комментарий Решение

Задача 57696

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Пусть a₁,...,a_n — векторы сторон n-угольника, $\varphi_{ij}^{}$ = $\angle$ (a_i,a_j). Докажите, что a₁² = a₂² +...+ a_n² + 2 $\sum\limits_{i>j>1}^{}$ a_ia_jcos $\varphi_{ij}^{}$ , где a_i = |a_i|.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 239]