На дуге  A₁A_{2n + 1} описанной окружности S правильного (2n + 1)-угольника  A₁...A_{2n + 1} взята точка A. Докажите, что:
а)  d₁ + d₃ + ... + d_{2n + 1} = d₂ + d₄ + ... + d_2n, где d_i = AA_i;
б)  l₁ + ... + l_{2n + 1} = l₂ + ... + l_2n, где l_i — длина касательной, проведенной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке A_i (все касания одновременно внутренние или внешние).

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

   Решение

На сторонах OA и OB четверти AOB круга построены как на диаметрах полуокружности ACO и OCB, пересекающиеся в точке C. Докажите, что:

1) прямая OC делит угол AOB пополам;

2) точки A, C и B лежат на одной прямой;

3) дуги AC, CO и CB равны между собой.

   Решение

Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает сторону DC в единственной точке F и сторону BC в единственной точке E.
Найдите площадь трапеции AFCB, если  AB = 32,  AD = 40  и  BE = 1.

   Решение

Докажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.

   Решение

Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 17 и 113, а высота равна 15.

   Решение

В треугольной пирамиде SABC известны плоские углы при вершине S : BSC = 90^o , ASC = ASB = 60^o . Вершины A , S и середины рёбер SB , SC , AB , AC лежат на поверхности шара радиуса 3. Докажите, что ребро SA является диаметром этого шара, и найдите объём пирамиды.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте четырёхугольник ABCD по четырём углам и сторонам AB = a и CD = b.

   Решение

Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Может ли угол грани при вершине пирамиды равняться 100°?

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и BC в точках B₁ и A₁. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 563]      

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и BC в точках B₁ и A₁. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

Прислать комментарий

Решение

а) Прямые l₁ и l₂ параллельны. Докажите, что S_l1oS_l2 = T_2a, где  T_a — параллельный перенос, переводящий l₁ в l₂, причем a l₁.
б) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке O. Докажите, что S_l2oS_l1 = R²_O, где  R_O — поворот, переводящий l₁ в l₂.

Прислать комментарий

Решение

Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

Прислать комментарий

Решение

На окружности с центром O даны точки A₁,..., A_n, делящие ее на равные дуги, и точка X. Докажите, что точки, симметричные X относительно прямых OA₁,..., OA_n, образуют правильный многоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 563]