Версия для печати
Убрать все задачи

---

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

   Решение

---

В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им:
"Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так и выключенной.

Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ - скормлю всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут - если будете молчать, то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним."

Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.

   Решение

---

Поворот с центром O переводит прямую l₁ в прямую l₂, а точку A₁, лежащую на прямой l₁, — в точку A₂. Докажите, что точка пересечения прямых l₁ и l₂ лежит на описанной окружности треугольника A₁OA₂.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 406]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57946

Тема:   [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Поворот с центром O переводит прямую l₁ в прямую l₂, а точку A₁, лежащую на прямой l₁, — в точку A₂. Докажите, что точка пересечения прямых l₁ и l₂ лежит на описанной окружности треугольника A₁OA₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97767

Темы:   [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108886

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В четырёхугольнике ABCD точки K , L , M , N – середины сторон соответственно AB , BC , CD , DA . Прямые AL и CK пересекаются в точке P , прямые AM и CN – пересекаются в точке Q . Оказалось, что APCQ – параллелограмм. Докажите, что ABCD – тоже параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115969

Темы:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116119

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Шестиугольник ABCDEF – правильный, K и M – середины отрезков BD и EF. Докажите, что треугольник AMK – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 406]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями