ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть n$ \ge$3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

   Решение

Задачи

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 416]      



Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий     Решение

Задача 111829

Темы:   [ Метод спуска ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности  (xn)  первый член x1 – рациональное число, большее 1, и  xn+1 = xn + 1/[xn]  при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35541

Темы:   [ Показательные уравнения ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Решите уравнение $2x^x=\sqrt{2}$ в положительных числах.
Прислать комментарий     Решение


Задача 55621

 [Первая задача о бильярде]
Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан прямоугольный бильярд со сторонами 1 и $ \sqrt{2}$. Из его угла под углом 45o к стороне выпущен шар. Попадет ли он когда-нибудь в лузу? (Лузы находятся в углах бильярда).

Прислать комментарий     Решение


Задача 58299

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Пусть n$ \ge$3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 416]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .