- Количество и сумма делителей числа (51 задача)
- Функция Эйлера (24 задачи)
- Функция Мебиуса (1 задача)
- Арифметические функции (прочее) (3 задачи)
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Докажите, что если а < 1, b < 1 и a + b ≥ 0,5, то (1 – a)(1 – b) ≤ 9/16.
Объединение нескольких кругов имеет площадь 1. Доказать, что из них можно
выбрать несколько попарно непересекающихся кругов, сумма площадей которых
больше . (Сравни с задачей 78201.)
В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.
Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке
K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A
и B и пересекает их общую касательную, проходящую через точку K, в
точке M. Докажите, что
O1MO2 =
AKB = 90o.
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе.
Сколько человек в семье?
Площадь треугольника ABC равна 1, AC = 2BC, точка K — середина стороны AC. Окружность с центром в точке K пересекает сторону AB в точках M и N, при этом AM = MN = NB. Найдите площадь части треугольника ABC, заключённой внутри круга.
10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие.
Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
a, b, c ≥ 0. Докажите, что .
Около окружности описана равнобедренная трапеция с углом 30o . Её средняя линия равна 10. Найдите радиус окружности.
Известно, что (m, n) > 1. Что больше φ(mn) или φ(m)φ(n)? Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.
В треугольнике ABC проведены высоты AH, BK и CL. Докажите, что AK·BL·CH = AL·BH·CK = HK·KL·LH.
В трапеции ABCD ( BC || AD ) известно, что AB = c и расстояние от середины отрезка CD до прямой AB равно d . Найдите площадь трапеции.
Решите уравнения а) φ(x) = 2; б) φ(x) = 8; в) φ(x) = 12; г) φ(x) = 14.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]
Задача 60760 |
|
|
Функция Эйлера φ(n) определяется как количество чисел от 1 до n, взаимно простых с n.
Основным свойством функции Эйлера является её мультипликативность.
Для взаимно простых a и b рассмотрим таблицу
Сколько в каждом из этих столбцов чисел взаимно простых с a?
Докажите мультипликативность функции Эйлера, ответив на эти вопросы.
|
|
Решение |
Задача 60765 |
|
|
Решите уравнения а) φ(x) = 2; б) φ(x) = 8; в) φ(x) = 12; г) φ(x) = 14.
|
|
Решение |
Задача 60767 |
|
|
Решите уравнения а) φ(x) = x/2; б) φ(x) = x/3; φ(x) = x/4.
|
|
|
Решение |
Задача 60768 |
|
|
Для каких n возможны равенства: a) φ(n) = n – 1; б) φ(2n) = 2φ(n); в) φ(nk) = nk–1φ(n)?
|
|
|
Решение |
Задача 60769 |
|
|
Решите уравнения а) φ(5x) = 100; б) φ(7x) = 294; в) φ(3x5y) = 600.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]
