Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. На продолжении отрезка $LA$ за точку $A$ выбрана точка $K$ так, что $AK = AL$. Описанные окружности треугольников $BLK$ и $CLK$ пересекают отрезки $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.

Вниз   Решение


Через точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N. Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

ВверхВниз   Решение


Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ( AB || CD), A1 и B1 — точки, симметричные точкам A и B относительно биссектрисы угла AOB. Докажите, что $ \angle$ACA1 = $ \angle$BDB1.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что уравнения
  а)  8x4 + 4y4 + 2z4 = t4;
  б)  x² + y² + z² = 2xyz;
  в)  x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
  г)  3n = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 87 88 89 90 91 92 93 >> [Всего задач: 488]      



Задача 60852

 [Метод спуска]
Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Метод спуска ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что уравнения
  а)  8x4 + 4y4 + 2z4 = t4;
  б)  x² + y² + z² = 2xyz;
  в)  x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
  г)  3n = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78303

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Ориентированные графы ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.
Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98287

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Наибольший треугольник ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98349

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115508

Темы:   [ Средняя линия треугольника ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 87 88 89 90 91 92 93 >> [Всего задач: 488]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .