Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 47]
|
[Ортоцентр реугольника]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1.
Докажите, что точка h = a1 + a2 + a3 является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a1, a2 и a3.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что все корни уравнения a(z – b)n = c(z – d )n, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.
|
[Прямая Симсона]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Пусть u – точка на единичной окружности z
= 1 и u1, u2, u3 – основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 вписанного в эту окружностьтреугольника a1a2a3.
а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам
б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что корни уравнения 
где a, b, c – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).
Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 47]
Фильтр
Решение 
