ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Методы >> Индукция >> Индукция (прочее)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

а)  cos$ \alpha$cos$ \beta$ + cos$ \beta$cos$ \gamma$ + cos$ \gamma$cos$ \alpha$ $ \leq$ 3/4.

Вниз   Решение

а)  sin($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) $ \leq$ 1/8;
б)  cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ $ \leq$ 1/8.

ВверхВниз   Решение

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn – = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 332]      

  с решениями  

Задача 111695

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Клепцын В.А.

Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
  а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
  б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)?
(Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 111769

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Замена переменных ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Для положительных чисел x1, x2, ..., xn докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 60875

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Определим последовательности чисел (xn) и (dn) условиями  x1 = 1,  xn+1 = [  ],  dn = x2n+1 – 2x2n–1  (n ≥ 1).
Докажите, что число в двоичной системе счисления представляется в виде  (d1,d2d3...)2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61331

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn – = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66150

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a1, a2, a3, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 332]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам