Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Точки $P$, $Q$ лежат внутри окружности $\omega$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$ пересекает $\omega$ в точках $A$ и $D$. Окружность с центром $D$, проходящая через $P$ и $Q$, пересекает $\omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезок $PQ$ лежит внутри треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle ACP = \angle BCQ$.
РешениеВ пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).
РешениеНайдите все действительные корни уравнения (x + 1)21 + (x + 1)20(x – 1) + (x + 1)19(x – 1)² + ... + (x – 1)21 = 0.
РешениеУкажите все пары (x; y), для которых выполняется равенство (x4 + 1)(y4 + 1) = 4x²y².
РешениеДокажите, что 4S = (a2 - (b - c)2)ctg(
РешениеИзвестно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.
А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы
а) произвольного куба;
б) произвольного правильного тетраэдра?
(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)
РешениеВ озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
РешениеГлава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?
(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)
РешениеЧисла a, b и c отличны от нуля и выполняются равенства: a + b/c = b + c/a = c + a/b = 1. Докажите, что ab + bc + ca = 0.
Решениеа) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)
б) Пользуясь этой функцией, выразите Ln через φ и
(см. задачу 61502).
Решение
Задачи
Задача 61507[Производящие функции многочленов Чебышева] |
|
|
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
|
|
Решение |
Задача 97910 |
|
|
Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел 1, 2, 3, ..., n. Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.
|
|
|
Решение |
Задача 61493 |
|
|
Пусть an – число решений уравнения x1 + ... + xk = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
б) Найдите формулу для an, пользуясь
задачей 61490.
|
|
|
Решение |
Задача 61504 |
|
|
а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)
б) Пользуясь этой функцией, выразите Ln через φ и
(см. задачу 61502).
|
|
|
Решение |
Задача 61506[Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка] |
|
|
Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z² + ... + Fn(x)zn + ...
и последовательности многочленов Люка
L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z² + ... + Ln(x)zn + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в
справочнике.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]
