Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Назовём натуральное число n удобным, если n² + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.
Доказать, что в произведении (1 – x + x² – x³ + ... – x99 + x100)(1 + x + x² + x³ + ... + x99 + x100) после раскрытия скобок и приведения подобных членов не остаётся членов, содержащих x в нечётной степени.
Пусть an – число решений уравнения x1 + ... + xk = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
б) Найдите формулу для an, пользуясь
задачей 61490.
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)
б) Пользуясь этой функцией, выразите Ln через φ и
(см. задачу 61502).
Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z² + ... + Fn(x)zn + ...
и последовательности многочленов Люка
L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z² + ... + Ln(x)zn + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в
справочнике.
Задачи Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]
Задача 61507[Производящие функции многочленов Чебышева] |
|
|
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
|
|
Решение |
Задача 97910 |
|
|
Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел 1, 2, 3, ..., n. Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.
|
|
Решение |
Задача 61493 |
|
|
Пусть an – число решений уравнения x1 + ... + xk = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
б) Найдите формулу для an, пользуясь
задачей 61490.
|
|
|
Решение |
Задача 61504 |
|
|
а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)
б) Пользуясь этой функцией, выразите Ln через φ и
(см. задачу 61502).
|
|
|
Решение |
Задача 61506[Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка] |
|
|
Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z² + ... + Fn(x)zn + ...
и последовательности многочленов Люка
L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z² + ... + Ln(x)zn + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в
справочнике.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]
