Подтемы:
- Классическая комбинаторика (504 задачи)
- Треугольник Паскаля и бином Ньютона (107 задач)
- Производящие функции (20 задач)
- Числа Каталана (12 задач)
- Теория графов (385 задач)
- Комбинаторика (прочее) (46 задач)
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH² + BC² = 4R² и AH = BC |ctg α|.
Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите,
что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные
на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.
Точки А, В и С лежат на прямой m, а точки D и Е на ней не лежат. Известно, что AD = AE и BD = BE. Докажите, что CD = CE.
Прожектор освещает угол величиной
90o. Докажите, что в
любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так,
что они осветят всю плоскость.
Пусть p(n) – количество разбиений числа n
(определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:
(По определению считается, что p(0) = 1.)
Задачи Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1010]
Задача 61509 |
|
|
Пусть p(n) – количество разбиений числа n
(определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:
(По определению считается, что p(0) = 1.)
|
|
Решение |
Задача 61512 |
|
|
Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:
а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;
б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)–1(1 – x³)–1(1 – x5)–1...;
в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).
(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)
|
|
Решение |
Задача 61523 |
|
|
а) Определение (смотри в справочнике)
функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство
б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение x = 1?
|
|
|
Решение |
Задача 64314 |
|
|
В шахматном турнире каждый из восьми участников сыграл с каждым. В случае ничьей (и только в этом случае) партия ровно один раз переигрывалась и результат переигровки заносился в таблицу. Барон Мюнхгаузен утверждает, что в итоге два участника турнира сыграли по 11 партий, один – 10 партий, три – по 8 партий и два – по 7 партий. Может ли он оказаться прав?
|
|
|
Решение |
Задача 64511 |
|
|
Володя хочет сделать набор кубиков одного размера и написать на каждой грани каждого кубика по одной цифре так, чтобы можно было из этих кубиков выложить любое 30-значное число. Какого наименьшего количества кубиков ему для этого хватит? (Цифры 6 и 9 при переворачивании не превращаются друг в друга.)
|
|
|
Решение |
Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1010]
