ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Ссылки по теме:
Статья А. Розенталя "Правило крайнего" Материалы по этой теме: Подтемы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что BM = CN. Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что 2MN < AB. a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля. Докажите равенство
Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60o. Найдите диагонали трапеции, если AD = 10, BC = 3 и CD = 4.
Дана равнобедренная трапеция ABCD. Известно, что AD = 10, BC = 2, AB = CD = 5. Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания BC Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух узлов связи сохранялась возможность передачи информации между любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие узлы)? Сторона ромба ABCD равна 5. В этот ромб вписана окружность радиуса 2,4.
Вершины параллелограмма A1B1C1D1 лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка A1 лежит на стороне AB, точка B1 – на стороне BC и т.д.). На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a1, a2, ..., a100. Затем под каждым числом ai написали число bi, полученное прибавлением к ai наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b1, b2, ..., b100? |
Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 489]
В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой-либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a1, a2, ..., a100. Затем под каждым числом ai написали число bi, полученное прибавлением к ai наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b1, b2, ..., b100?
Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал "по клеткам". Если после очередного сдвига ровно одна клетка у $M$ лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали $M$ по описанным правилам.
Дан клетчатый квадрат $n\times n$, где $n$ > 1. Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть $x$ – количество слов в кроссворде, $y$ – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения $\frac{x}{y}$ при данном $n$.
Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 489]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке