Каталог по темам

Задачи

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 332]

Задача 78839

Темы:	[	Ряд Фарея	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть ^a/_b и ^c/_d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79261

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Прислать комментарий

Решение

Задача 102995

Темы:	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Стунжас Л.

Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
а) f(f(x)) = x, g(g(x)) = x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
б) f(f(x)) < x, g(g(x)) < x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64717

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что A + B = C и C > 1000 rad(ABC)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98142

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть n и b – натуральные числа. Через V(n, b) обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что V(36, 2) = 5). Докажите, что V(n, b) < ⁿ/_b.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 332]