Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = ^AC/₂.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

   Решение

Страница: << 113 114 115 116 117 118 119 >> [Всего задач: 603]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111803

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись такие точки M и N, отличные от вершин, что  MC = AC  и  NB = AB.  Точка P симметрична точке A относительно прямой BC. Докажите, что PA является биссектрисой угла MPN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64774

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = ^AC/₂.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65034

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4-

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠B = 90°),  касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. A₂, C₂ – точки, симметричные точке B₁ относительно прямых BC, AB соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, C₁C₂ пересекаются на медиане треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98593

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  ∠ABP = ∠ACP,  а  ∠CBP = ∠CAP. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111627

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, M – точка пересечения его диагоналей, O₁ и O₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABM и CMD соответственно, K – середина дуги AD, не содержащей точек B и C,  ∠O₁KO₂ = 60°,  KO₁ = 10.  Найдите O₁O₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 113 114 115 116 117 118 119 >> [Всего задач: 603]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями