ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи У правильного 1981-угольника отмечены 64 вершины. Доказать, что существует трапеция с вершинами в отмеченных точках. Докажите неравенство для натуральных n: На высотах BB1 и CC1 треугольника ABC взяты точки B2 и C2 так, что ∠AB2C = ∠AC2B = 90°. Докажите, что AB2 = AC2. Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2A = a1 + a2 + ... + ak, то из чисел a1, a2, ..., ak можно выбрать часть, сумма которых равна A. На сторонах AB, BC и CD четырехугольника ABCD
(или на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL
и AC пересекаются в точке P, LM и BD — в точке Q.
Докажите, что точка пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой AD.
12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих? Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку ("3", "4" или "5") по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной, если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превышает хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудшилась. Оказалось, что n недель подряд были удачными, и в последнюю из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой первой недели. Чему могло равняться число n? На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников. Все углы выпуклого многоугольника A1...An равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами. Длины всех сторон прямоугольного треугольника
являются целыми числами, причем наибольший общий делитель
этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn
и m2 - n2, а гипотенуза равна m2 + n2, где m и n — натуральные числа.
Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что AB = KC. Докажите неравенство: 2n > n. Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию. Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу 65299). По её мнению, нужно из всех 2n мам выбрать случайным образом жюри из 2m человек (2m ≤ n). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования. Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно,
что их можно разбить на k равных по массе групп. Петя и ещё 9 человек играют в такую игру: каждый бросает игральную кость. Игрок
получает приз, если он выбросил число очков, которое не удалось выбросить никому больше. |
Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 171]
12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?
Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей (см. задачу 65299). По её мнению, нужно из всех 2n мам выбрать случайным образом жюри из 2m человек (2m ≤ n). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.
Петя и ещё 9 человек играют в такую игру: каждый бросает игральную кость. Игрок
получает приз, если он выбросил число очков, которое не удалось выбросить никому больше.
Две хоккейные команды одинаковой силы договорились, что будут играть до тех пор, пока суммарный счёт не достигнет 10.
У правильного 1981-угольника отмечены 64 вершины. Доказать, что существует трапеция с вершинами в отмеченных точках.
Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 171]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке