Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике $ABC$ $A_M$ – середина стороны $BC$, $A_H$ – основание высоты, опущенной на эту сторону. Аналогично определяются точки $B_M$, $B_H$, $C_M$, $C_H$. Докажите, что одно из отношений $A_MA_H:A_HA$, $B_MB_H:B_HB$, $C_MC_H:C_HC$ равно сумме двух других.

   Решение

---

В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

   Решение

---

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной c, и углом в 30^o. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом в 45^o. Найдите объем пирамиды.

   Решение

---

На диагоналях D1A , A1B , B1C , C1D граней куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки M , N , P , Q , причём

D1M:D1A = BN:BA1 = B1P:B1C = DQ:DC1 = μ,
а прямые MN и PQ взаимно перпендикулярны. Найдите μ .

   Решение

---

На сторонах угла ABC отмечены точки М и K так, что углы BMC и BKA равны,  BM = BK,  AB = 15,  BK = 8,  CM = 9.
Найдите периметр треугольника СOK, где O – точка пересечения прямых AK и СМ.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если  ∠MAC = 30°,  то  AK = BC.    Решение

---

Через вершины B и C треугольника ABC провели перпендикулярно прямой BC прямые b и c соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB пересекают прямые b и c в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна медиане AM треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116416

Темы:   [ Перпендикулярные прямые ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Можно ли все прямые на плоскости разбить на пары перпендикулярных прямых?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65365

Темы:   [ Перпендикулярные прямые ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Через вершины B и C треугольника ABC провели перпендикулярно прямой BC прямые b и c соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB пересекают прямые b и c в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна медиане AM треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65518

Темы:   [ Перпендикулярные прямые ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике MKN проведена биссектриса KL. Точка X на стороне MK такова, что  KX = KN.  Докажите, что прямые KO и XL перпендикулярны (O – центр описанной окружности треугольника MKN).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66097

Темы:   [ Перпендикулярные прямые ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что  BD = CD,  ∠BDC = 120°.  Вне треугольника ABC взята такая точка E, что  AE = CE,  ∠AEC = 60°  и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что  ∠AFD = 90°,  где F – середина отрезка BE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102816

Темы:   [ Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой ] [ Перпендикулярные прямые ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Опустить из данной точки A вне прямой l перпендикуляр на эту прямую, проведя не более трёх линий? (Третьей линией должен быть перпендикуляр.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями