Статья А. Розенталя "Правило крайнего"
Материалы по этой теме:
Подтемы:
- Наименьший или наибольший угол (24 задачи)
- Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) (68 задач)
- Наименьшая или наибольшая площадь (объем) (13 задач)
- Наибольший треугольник (5 задач)
- Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) (60 задач)
- Упорядочивание по возрастанию (убыванию) (96 задач)
- Принцип крайнего (прочее) (223 задачи)
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
По доске $n$×$n$ прошла ладья, побывав в каждой клетке один раз, причем каждый её ход был ровно на одну клетку. Клетки занумерованы от 1 до $n^2$ в порядке прохождения ладьи. Пусть $M$ – максимальная разность между номерами соседних (по стороне) клеток. Каково наименьшее возможное значение $M$?
В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, AH – высота. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.
В равнобедренную трапецию ABCD (BC || AD) вписана окружность радиуса R, касающаяся основания AD в точке P и пересекающая отрезок BP в такой точке Q, что PQ = 3BQ. Найдите углы и площадь трапеции.
Даны два двузначных числа – X и Y. Известно, что X вдвое больше Y, одна цифра числа Y равна сумме, а другая – разности цифр числа X.
Найти эти числа.
Доказать: число делителей n не превосходит 2.
Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.
Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:
а) масса каждой гири равна целому числу граммов;
б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;
в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.
На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что ∠AEC = 90°. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.
На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠CBQ.
б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.
С 1 сентября четыре школьника начали посещать кинотеатр. Первый бывал в нём каждый четвёртый день, второй – каждый пятый, третий – каждый шестой и четвёртый – каждый девятый. Когда второй раз все школьники встретятся в кинотеатре?
В треугольник вписан ромб со стороной m так, что одни угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки, равные p и q. Найдите стороны треугольника.
Медианы AM и BE треугольника ABC пересекаются в точке O. Точки O, M, E, C лежат на одной окружности. Найдите AB, если BE = AM = 3.
Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого.
Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.
Дан треугольник с углами 30°, 70° и 80°. Разрежьте его отрезком на два треугольника так, чтобы биссектриса одного из этих треугольников и медиана второго, проведённые из концов разрезающего отрезка, были параллельны друг другу.
На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD – точка F, причём AE : EB = 1 : 2, а CF = FD.
Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны?
Вася нарисовал карандашом разбиение клетчатого прямоугольника на прямоугольники размером 3×1 (тримино), закрасил ручкой центральную клетку каждого из получившихся прямоугольников, после чего стер карандашные линии. Всегда ли можно восстановить исходное разбиение?
Задачи Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 489]
Задача 65145 |
|
|
Среди 25 жирафов, каждые два из которых различного роста, проводится конкурс "Кто выше?". За один раз на сцену выходят пять жирафов, а жюри справедливо (согласно росту) присуждает им места с первого по пятое. Каким образом надо организовать выходы жирафов, чтобы после семи выходов определить первого, второго и третьего призёров конкурса?
|
|
Решение |
Задача 65565 |
|
|
Дано простое число p. Назовём треугольник разрешённым, если все его углы имеют вид m/p·180°, где m целое. Одинаковыми будем считать разрешённые треугольники с одинаковым набором углов (то есть подобные). Вначале дан один разрешённый треугольник. Каждую минуту один из имеющихся треугольников разрезают на два разрешённых так, чтобы после разрезания все имеющиеся треугольники были разными. Спустя некоторое время оказалось, что ни один из треугольников так разрезать нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имеющихся частей есть все возможные разрешённые треугольники.
|
|
|
Решение |
Задача 65627 |
|
|
Вася нарисовал карандашом разбиение клетчатого прямоугольника на прямоугольники размером 3×1 (тримино), закрасил ручкой центральную клетку каждого из получившихся прямоугольников, после чего стер карандашные линии. Всегда ли можно восстановить исходное разбиение?
|
|
Решение |
Задача 65839 |
|
|
Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что:
a) хотя бы один орех будет съеден;
б) все орехи не будут съедены.
|
|
|
Решение |
Задача 67017 |
|
|
По доске $n$×$n$ прошла ладья, побывав в каждой клетке один раз, причем каждый её ход был ровно на одну клетку. Клетки занумерованы от 1 до $n^2$ в порядке прохождения ладьи. Пусть $M$ – максимальная разность между номерами соседних (по стороне) клеток. Каково наименьшее возможное значение $M$?
|
|
|
Решение |
Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 489]
