Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

Вниз   Решение


Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность, если известно, что хорда этой окружности, равная 2, удалена от её центра на расстояние, равное 3.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при   a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство

ВверхВниз   Решение


Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

ВверхВниз   Решение


В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

ВверхВниз   Решение


Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найдите стороны треугольника AED, если  AB = 3,  BC = 10,  CD = 4,  AD = 12.

ВверхВниз   Решение


Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 207]      



Задача 111827

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Отрезок AA1 вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые A1C1 и A1B1 пересекают l в точках P и R соответственно. Докажите, что  ∠PQR = ∠B1QC1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65712

Темы:   [ Средняя линия треугольника ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108182

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Вокруг треугольника ABC описана окружность, к ней через точки A и B проведены касательные, которые пересекаются в точке M. Точка N лежит на стороне BC, причём прямая MN параллельна стороне AC. Докажите, что  AN = NC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108699

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан остроугольный треугольник ABC; B1 и C1 – основания высот, опущенных из вершин B и C соответственно. Точка D – основание перпендикуляра, опущенного из точки B1 на AB; E – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC, с отрезком BB1. Докажите, что  EC1 || AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66929

Темы:   [ Инверсия (прочее) ]
[ Радикальная ось ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Казаков А.

Хорды $A_1A_2$ и $B_1B_2$ пересекаются в точке $D$. Прямая $A_1B_1$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $DD'$, где точка $D'$ инверсна к $D$, в точке $C$. Докажите, что $CD\parallel A_2B_2$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 207]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .