Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Вниз   Решение


a, b, c – такие три числа, что  abc > 0  и  a + b + c > 0.  Доказать, что  an + bn + cn > 0  при любом натуральном n.

ВверхВниз   Решение


Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3$ \sqrt{39}$ и BC = $ \sqrt{39}$. Кроме того дано, что угол BAD равен 30o, а угол ADC равен 60o. Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции.

ВверхВниз   Решение


В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

ВверхВниз   Решение


Докажите равенство:

arctg 1 + arctg $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{3}}$ = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{2}}$.


ВверхВниз   Решение


Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 401]      



Задача 52470

Темы:   [ Площадь четырехугольника ]
[ Медиана делит площадь пополам ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O.
Докажите, что ломаная AOC делит его на две равновеликие части.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66138

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66268

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52462

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке A пересекает первую в точках C и D, а диаметр AB – в точке E. На дуге CE, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек C и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N. Известно, что  CN = a, DN = b.  Найдите MN.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52463

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дана окружность с диаметром PQ. Вторая окружность с центром в точке Q пересекает первую в точках S и T, а диаметр PQ в точке A. AB – диаметр второй окружности. На дуге SB, не содержащей точки T, взята точка C, отличная от точек S и B. Отрезок PC пересекает первую окружность в точке D. Известно, что
SD = n,  DC = m.  Найдите DT.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 401]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .