Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число , что

   Решение

---

На плоскости нарисован чёрный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного квадрата (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

   Решение

---

Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая – какой-то из биссектрис, а третья – какой-то из медиан?

   Решение

---

На доске n×n расставлено  n – 1  фишек так, что никакие две из них не стоят на соседних (по стороне) клетках.
Докажите, что одну из них можно передвинуть на соседнюю клетку так, чтобы снова никакие две фишки не стояли на соседних клетках.

   Решение

---

На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади. Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту, соединяющую сушу с сушей.

   Решение

---

Может ли быть так, что   а)  σ(n) > 3n;   б)  σ(n) > 100n?

   Решение

---

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

   Решение

---

Какое число нужно вычесть из числителя дроби ⁵³⁷/₄₆₃ и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить ¹/₉?

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC высоты AD и CE, опущенные на боковые стороны, образуют угол AMC, равный 48°. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

   Решение

---

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите высоту пирамиды.

   Решение

---

Найдите наибольший член последовательности .

   Решение

---

Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABC равен 108°. Перпендикуляр к биссектрисе AD этого треугольника, проходящий через точку D, пересекает сторону AC в точке E. Докажите, что  DE = BD.

   Решение

---

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой h и углом β боковой грани с плоскостью основания.

   Решение

---

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 243]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65872

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на рисунке).
Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66233

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В остроугольном треугольнике ABC  AA', BB' и CC' – высоты. Точки C_a, C_b симметричны C' относительно AA' и BB'. Аналогично определены точки A_b, A_c, B_c, B_a. Докажите, что прямые A_bB_a, B_cC_b и C_aA_c параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66238

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Периметр треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A₀, C₀ соответственно. Докажите, что периметр треугольника A₀OC₀ (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66240

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Средняя линия треугольника ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66261

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки подобия ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ω_A треугольника BHC взята точка X_A, что  AH = AX_A  и  H ≠ X_A.  Аналогично определены точки X_B и X_C. Докажите, что треугольник X_AX_BX_C и ортотреугольник треугольника ABC подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 243]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями