Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M₁ и M₂ – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM₁M₂,  X₁ и X₂ – точки пересечения ω с Ω, а Y₁ и Y₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников CDM₁ и ABM₂ соответственно с Ω. Докажите, что  X₁X₂ || Y₁Y₂.

   Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 401]      

На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что  ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
  а) Докажите, что  ∠ABP = ∠CBQ.
  б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Все грани треугольной пирамиды SABC – остроугольные треугольники. SX и SY – высоты граней ASВ и BSС. Известно, что четырёхугольник AXYC – вписанный. Докажите, что прямые AC и BS перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна ее диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.

Прислать комментарий

Решение

В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M₁ и M₂ – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM₁M₂,  X₁ и X₂ – точки пересечения ω с Ω, а Y₁ и Y₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников CDM₁ и ABM₂ соответственно с Ω. Докажите, что  X₁X₂ || Y₁Y₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 401]