AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.

   Решение

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

   Решение

В стране Древляндия 101 город, и некоторые из них соединены дорогами. При этом каждые два города соединяет ровно один путь.
Сколько в этой стране дорог?

   Решение

Стороны треугольника ABC касаются вписанной окружности в точках K, P и M, причём точка M расположена на стороне BC. Найдите угол KMP, если  ∠A = 2α.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.

   Решение

В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что
  а) число членов чётно.
  б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.

   Решение

Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,

   Решение

p простых чисел a₁, a₂, ..., a_p образуют возрастающую арифметическую прогрессию и  a₁ > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

   Решение

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

   Решение

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

   Решение

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 772]      

На стороне треугольника взяты четыре точки K, P, H и M, являющиеся соответственно серединой этой стороны, основанием биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите KH, если KP = a, KM = b.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S₁ вписана в угол A треугольника ABC; окружность S₂ вписана в угол B и касается S₁ (внешним образом); окружность S₃ вписана в угол C и касается S₂; окружность S₄ вписана в угол A и касается S₃ и т. д. Докажите, что окружность S₇ совпадает с S₁.

Прислать комментарий

Решение

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть  BC = DE.  Докажите, что  AB = EF.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

Прислать комментарий

Решение

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C₁, D – точка пересечения прямых B₁C₁ и A₁K. Докажите, что  CD = CB₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 772]