Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников. >> Длины сторон, высот, медиан и биссектрис
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 19 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Женодаров Р.Г.

Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99, в десятичной записи которого участвуют только чётные цифры.

Вниз   Решение

Автор: Ковальджи А.К.

Четыре кузнечика сидели в вершинах квадрата. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то векторы     и     равны). Докажите, что три кузнечика не могут оказаться
  а) на одной прямой, параллельной стороне квадрата;
  б) на одной произвольной прямой.

 

ВверхВниз   Решение

Известно, что в кадр фотоаппарата, расположенного в точке O, не могут попасть предметы A и B такие, что угол AOB больше 179o. На плоскости поставлено 1000 таких фотоаппаратов. Одновременно каждым фотоаппаратом делают по одному снимку. Доказать, что найдётся снимок, на котором сфотографировано не больше 998 фотоаппаратов.

ВверхВниз   Решение

Радиус вписанной в треугольник окружности равен $ {\frac{4}{3}}$, а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

В некотором городе каждая улица идет либо с севера на юг, либо с востока на запад. Автомобилист совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?

ВверхВниз   Решение

Автор: Седракян Н.

Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно $k$ больше 30°. Каково наибольшее возможное значение $k$?

ВверхВниз   Решение

В ромбе ABCD точка Q делит сторону BC в отношении 1 : 3, считая от вершины B, а точка E — середина стороны AB. Известно, что медиана CF треугольника CEQ равна 2$ \sqrt{2}$, а EQ = $ \sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что  $CK = AB = BC$  и  ∠ KAC = 30°.  Найдите угол $AKB$.

ВверхВниз   Решение

Через противоположные вершины A и C четырёхугольника ABCD проведена окружность, пересекающая стороны AB, BC, CD и AD соответственно в точках M, N, P и Q. Известно, что BM = BN = DP = DQ = R , где R — радиус данной окружности. Доказать, что в таком случае сумма углов B и D данного четырёхугольника равна 120o.

ВверхВниз   Решение

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что  NO $ \leq$ 2MO.

ВверхВниз   Решение

Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и , а медиана, проведённая к третьей, равна 2.

ВверхВниз   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

ВверхВниз   Решение

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  ha $ \leq$ (a/2)ctg($ \alpha$/2).

ВверхВниз   Решение

Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, а точка O расположена на отрезке AD, причём  AO : OD = 9 : 4.  Прямая, проходящая через вершину B и точку O, пересекает сторону AC в точке E, причём  BO : OE = 5 : 6.  Найдите отношение, в котором точка E делит сторону AC.

ВверхВниз   Решение

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC сторона AC равна 7, угол BCA равен 60°. Точка E, лежащая на стороне BC, удалена от вершины B на 6, F – точка пересечения AE с медианой BD. Найдите сторону AB, если  BF : FD = 3 : 2.

ВверхВниз   Решение

Каждая из боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC разделена на три равные части, и через четыре точки деления на этих сторонах проведена окружность, высекающая на основании AC хорду DE. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BDE, если AB = BC = 3 и AC = 4.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике ABC провели медианы BK и CN, пересекающиеся в точке M. Какое наибольшее количество сторон четырёхугольника ANMK может иметь длину 1?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

Задача 53533

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и , а медиана, проведённая к третьей, равна 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57001

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Признаки подобия ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?

Прислать комментарий     Решение

Задача 67255

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

В треугольнике ABC провели медианы BK и CN, пересекающиеся в точке M. Какое наибольшее количество сторон четырёхугольника ANMK может иметь длину 1?
Прислать комментарий     Решение

Задача 53702

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC точка D делит сторону BC в отношении 3 : 1, считая от вершины B, а точка E — середина отрезка AD. Известно, что BE = $ \sqrt{7}$, CE = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53703

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В ромбе ABCD точка Q делит сторону BC в отношении 1 : 3, считая от вершины B, а точка E — середина стороны AB. Известно, что медиана CF треугольника CEQ равна 2$ \sqrt{2}$, а EQ = $ \sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .