Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть z1, z2, ..., zn – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  z = λ1z1 + λ2z2 + ... + λnzn,  где λ1, λ2, ..., λn – такие действительные положительные числа, что  λ1 + λ2 + ... + λn = 1.

Вниз   Решение


Архитектор хочет расположить семь высотных зданий так, чтобы, гуляя по городу, можно было увидеть их шпили в любом (циклическом) порядке.
Удастся ли это ему?

ВверхВниз   Решение


Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

ВверхВниз   Решение


ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD. P - точка пересечения диагоналей.
Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности R.

ВверхВниз   Решение


Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

ВверхВниз   Решение


В четырехугольнике $ABCD$ $\angle B=\angle D$ и $AD=CD$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AC$, $BD$, $AE$ и $CF$ лежат на одной окружности.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 241]      



Задача 67341

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В четырехугольнике $ABCD$ $\angle B=\angle D$ и $AD=CD$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AC$, $BD$, $AE$ и $CF$ лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78243

Темы:   [ Псевдоскалярное произведение ]
[ Вычисление площадей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC и точка O. M1, M2, M3 — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M1M2M3 равна 1/9 площади ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78255

Темы:   [ Векторы (прочее) ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Известно, что Z1 + ... + Zn = 0, где Zk — комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна 120o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78264

Темы:   [ Векторы (прочее) ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Точки A и B движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям O1 и O2 соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина C правильного треугольника ABC также движется равномерно по некоторой окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79431

Темы:   [ Векторы ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 3+
Классы: 9

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Доказать, что $ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \overrightarrow{CC_1}$ = $ \overrightarrow{0}$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 241]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .