Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть z1, z2, ..., zn – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  z = λ1z1 + λ2z2 + ... + λnzn,  где λ1, λ2, ..., λn – такие действительные положительные числа, что  λ1 + λ2 + ... + λn = 1.

Вниз   Решение


Архитектор хочет расположить семь высотных зданий так, чтобы, гуляя по городу, можно было увидеть их шпили в любом (циклическом) порядке.
Удастся ли это ему?

ВверхВниз   Решение


Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

ВверхВниз   Решение


ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD. P - точка пересечения диагоналей.
Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности R.

ВверхВниз   Решение


Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

ВверхВниз   Решение


В четырехугольнике $ABCD$ $\angle B=\angle D$ и $AD=CD$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AC$, $BD$, $AE$ и $CF$ лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c  (AB = c,  BC = a,  CA = b  и  a < b < c).  На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B1 и A1, что  BB1 = AA1 = c.  На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C2 и B2, что  CC2 = BB2 = a.  Найти  A1B1 : C2B2.

ВверхВниз   Решение


На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

ВверхВниз   Решение


Две стороны треугольника равны 2$ \sqrt{2}$ и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение


Дана прямоугольная трапеция, основания которой равны a и b (a < b). Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найдите радиусы этих окружностей.

ВверхВниз   Решение


Решите уравнения:
 а)  z4 = 4;   б)  z² + |z| = 0;   в)  z² + = 0;   г)  z² + |z|² = 0;   д)  (z + i)4 = (z – i)4;   е)  z³ – = 0.

ВверхВниз   Решение


Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников BOC и COD равна 2. Найдите стороны параллелограмма.

ВверхВниз   Решение


Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:

$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$f (x)g(x) = f (n)$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$g(x) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$($\displaystyle \Delta$f (x)$\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$g(z)),
$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$f (x)$\displaystyle \Delta$g(x) = f (n)g(n) - f (0)g(0) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$g(x + 1)$\displaystyle \Delta$f (x).


ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC и точка O. M1, M2, M3 — центры тяжести треугольников OAB, OBC, OCA соответственно. Доказать, что площадь треугольника M1M2M3 равна 1/9 площади ABC.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если среди полученных фигур есть p-звенная и q-звенная, то p + q$ \le$n + 4.

ВверхВниз   Решение


Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 500]      



Задача 66645

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. По дуге $AD$, не содержащей точек $B$ и $C$, движется точка $P$. Фиксированная прямая $l$, перпендикулярная прямой $BC$, пересекает лучи $BP$, $CP$ в точках $B_0$, $C_0$ соответственно. Докажите, что касательная, проведенная к описанной окружности треугольника $PB_0C_0$ в точке $P$, проходит через фиксированную точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66742

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66769

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ $AA_1$, $CC_1$ – высоты, $P$ – произвольная точка на стороне $BC$. Точка $Q$ на прямой $AB$ такова, что $QP=PC_1$, а точка $R$ на прямой $AC$ такова, что $RP=CP$. Докажите, что четырехугольник $QA_1RA$ вписанный.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67090

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67358

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 500]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .