Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Стереометрия >> Трехгранные и многогранные углы >> Трехгранные и многогранные углы (прочее)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 24 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Куликова А.

К описанной окружности треугольника $ABC$ проведены касательные в точках $B$ и $C$. Лучи $CC_1$, $BB_1$, где $B_1$ и $C_1$ – середины сторон $AC$ и $AB$, пересекают эти касательные в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle BAK=\angle CAL$.

Вниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.

ВверхВниз   Решение

Автор: Якубов А.

В треугольнике ABC медианы AMA, BMB и CMC пересекаются в точке M. Построим окружность ΩA, проходящую через середину отрезка AM и касающуюся отрезка BC в точке MA. Аналогично строятся окружности ΩB и ΩC. Докажите, что окружности ΩA, ΩB и ΩC имеют общую точку.

ВверхВниз   Решение

В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пересекаются.

ВверхВниз   Решение

Многоугольник площади B вписан в окружность площади A и описан вокруг окружности площади C. Докажите, что  2B $ \leq$ A + C.

ВверхВниз   Решение

Существует ли а) ограниченная, б) неограниченная фигура на плоскости, имеющая среди своих осей симметрии две параллельные несовпадающие прямые?

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

При каком натуральном K величина     достигает максимального значения?

ВверхВниз   Решение

Сколько осей симметрии может быть у треугольника?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

ВверхВниз   Решение

а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S1, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S2. Докажите, что  S2 > S1S2.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P1, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P2. Докажите, что  L2 < P1P2.

ВверхВниз   Решение

Автор: Анджанс А.

a1, a2, a3, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  aak = 3k  для любого k.
Найти   а)  a100;   б)  a1983.

ВверхВниз   Решение

Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

ВверхВниз   Решение

Автор: Титович И.З.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 и биссектрисы AA2 и BB2; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A3 и B3. Докажите, что прямые  A1B1, A2B2 и A3B3 пересекаются в одной точке или параллельны.

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Пусть $A_1A_2A_3$ – остроугольный треугольник, радиус описанной окружности равен $1$, $O$ – ее центр. Из вершин $A_i$ проведены чевианы через $O$ до пересечения с противолежащими сторонами в точках $B_i$ соответственно $(i=1, 2, 3)$.

(а) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый длинный. Какова его наименьшая возможная длина?

(б) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый короткий. Какова его наибольшая возможная длина?

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел {an} задана условиями

a1 = 1,        an + 1 = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что
а) последовательность {an} ограничена;
б) | a1000 - 2| < $ \left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$$ {\dfrac{3}{4}}$$ \left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$.

ВверхВниз   Решение

В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

ВверхВниз   Решение

Из середины основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что площадь полученного таким образом параллелограмма равна половине площади треугольника.

ВверхВниз   Решение

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  a ≡ b (mod m)  тогда и только тогда, когда  a – b  делится на m.

ВверхВниз   Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC}{BD}}$ = $\displaystyle {\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}}$.


ВверхВниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

При каком наибольшем $n$ существует выпуклый многогранник с $n$ гранями, обладающий следующим свойством: для любой грани найдется точка вне многогранника, из которой видны остальные $n-1$ грани?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

  с решениями  

Задача 110268

Темы:   [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
[ Пирамида (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Сколько существует различных пирамид, все рёбра которых равны 1?
Прислать комментарий     Решение

Задача 78041

Темы:   [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?
Прислать комментарий     Решение

Задача 67375

Темы:   [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
[ Тетраэдр и пирамида (прочее) ]
[ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Теорема Хелли ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Казицына Т.В.

При каком наибольшем $n$ существует выпуклый многогранник с $n$ гранями, обладающий следующим свойством: для любой грани найдется точка вне многогранника, из которой видны остальные $n-1$ грани?
Прислать комментарий     Решение

Задача 87115

Темы:   [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
[ Неравенства с трехгранными углами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны по 60o . Докажите, что AB + AC + AD BC + CD + DB .
Прислать комментарий     Решение

Задача 87635

Тема:   [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

На какое наименьшее число непересекающихся трёхгранных углов можно разбить пространство?
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .