Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]

Задача 73635

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]
	[	Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Бешкарев В.П.

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

Прислать комментарий Решение

Задача 64613

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Производная (прочее)	]
	[	Средние величины	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Многочлен степени n > 1 имеет n разных корней х₁, х₂, ..., х_n. Его производная имеет корни y₁, y₂, ..., y_n–1.
Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 110155

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Уравнение xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа a_n–1 и a_n взаимно просты.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98253

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Кубические многочлены	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Грибалко А.В.

а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a и ^b/_a + ^c/_b + ^a/_c ровно одно – целое?

б) Докажите, что если они оба целые, то a = b = c.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]