Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]

Задача 73714

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Итерации	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T₁ был остроугольным?
б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

Задача 85241

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите следующие равенства:

а)

б)

в)

Прислать комментарий

Решение

Задача 65342

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Средние величины	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит n носков. Среди них – два любимых носка Рассеянного Учёного. Носки загорожены сохнущей простыней, поэтому Учёный их не видит, и достаёт по одному носку на ощупь. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых Учёным к моменту, когда у него окажутся оба любимых носка.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73771

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Сойфер А.Л., Слободник С.Г.

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73574

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Метод спуска	]
	[	Итерации	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = m, a₃ = m² – 1, a₄ = m³ – 2m, a₅ = m⁴ – 3m² + 1, ..., в которой a_k+1 = ma_k – a_k–1 для любого k 0. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]