Каталог по темам

Задачи

Страница: << 259 260 261 262 263 264 265 >> [Всего задач: 1371]

Задача 67409

Темы:	[	Оценка + пример	]
	[	Площадь (прочее)	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Караваев Г.

Пекарь испёк прямоугольный лаваш и разрезал его на $n^2$ прямоугольников, сделав $n–1$ горизонтальных разрезов и $n–1$ вертикальных. Оказалось, что округлённые до целого числа площади получившихся прямоугольников равны всем натуральным числам от $1$ до $n^2$ в некотором порядке. Для какого наибольшего $n$ это могло произойти? (Полуцелые числа округляются вверх.)

Прислать комментарий Решение

Задача 73735

Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Колмогоров А.Н.

а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.

б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую конфигурацию Паскаля. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на нижнем рисунке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79323

Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Системы точек	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На плоскости задано конечное множество точек. Доказать, что в нём найдётся точка, у которой имеется не более трёх ближайших к ней точек из этого же множества.

Прислать комментарий Решение

Задача 109646

Темы:	[	Свойства разверток	]
	[	Цилиндр	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Порошенко Е.

Квадрат n×n ( n 3 ) склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.

Прислать комментарий Решение

Задача 109765

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 259 260 261 262 263 264 265 >> [Всего задач: 1371]