Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.
Решение30 девочек – 13 в красных платьях и 17 в синих платьях – водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?
РешениеНа прямоугольном листе бумаги отмечены
а) несколько точек на одной прямой;
б) три точки.
Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем один раз шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что это можно сделать так, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.
РешениеПри каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?
(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Решение
Задачи
Задача 73834 |
|
|
При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях?
(Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
|
|
|
Решение |
Задача 58205 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 58206 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 73710 |
|
|
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?
б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?
в) Среди решений уравнения x1 + x2 + ... + xk = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная xi не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?
|
|
|
Решение |
Задача 73787 |
|
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]
