Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 57]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Многочлен P(x) = x³ + ax² + bx + c имеет три различных действительных корня, а
многочлен P(Q(x)), где Q(x) = x² + x + 2001, действительных корней не имеет. Докажите, что P(2001) > 1/64.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Два многочлена P(x) = x4 + ax³ + bx² + cx + d и Q(x) = x² + px + q принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка x0, что P(x0) < Q(x0).
Разложить на множители: (b – c)³ + (c – a)³ + (a – b)³.
|
[Теорема Безу]
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на x – c равен P(c).
|
[Схема Горнера]
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
|
Значение многочлена Pn(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 (an ≠ 0) в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде Pn(x) = (...(anx + an–1)x + ... + a1)x + a0. Пусть bn, bn–1, ..., b0 – это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления Pn(c), то есть bn = an, bk = cbk+1 + ak (k = n – 1, ..., 0). Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на x – c с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами bn–1, ..., b1, а остатком будет число b0. Таким образом, будет справедливо равенство:
Pn(x) = (x – c)(bnxn–1 + ... + b2x + b1) + b0.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 57]
Фильтр
