Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
а) Пусть
=
+
. Докажите, что точки a, b,
c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда
a +
b +
c = 0 или
a +
b +
c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного
треугольника тогда и только тогда, когда
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac.
Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно
треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите,
что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна
прямой Эйлера треугольника ACD.
Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.
В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.
Целые ненулевые числа a1, a2, ..., an таковы, что равенство
a) Докажите, что число n чётно.
б) При каком наименьшем n такие числа существуют?
Постройте треугольник по высоте, опущенной на одну из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда ax² + bx + c = (dx + e)².
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 51]
Задача 98078 |
|
|
На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.
|
|
Решение |
Задача 56789 |
|
|
Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.
|
|
|
Решение |
Задача 98226 |
|
|
Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит
его площадь пополам?
б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).
|
|
|
Решение |
Задача 98353 |
|
Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.
|
|
|
Решение |
Задача 78047 |
|
|
Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда ax² + bx + c = (dx + e)².
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 51]
