Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Струков С.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Из вершин B и C на прямую ED опущены перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF = DG.

Вниз   Решение


Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.

ВверхВниз   Решение


Вписанная окружность треугольника A1A2A3 касается сторон A2A3, A3A1 и A1A2 в точках S1, S2 и S3 соответственно. Пусть O1, O2 и O3 – центры вписанных окружностей треугольников A1S2S3, A2S3S1 и A3S1S2 соответственно. Докажите, что прямые O1S1, O2S2 и O3S3 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, AH – высота. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.

ВверхВниз   Решение


В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  x ± y ± z = n  (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (x0, y0, z0)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка  (kx0, ky0, kz0)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

ВверхВниз   Решение


Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

ВверхВниз   Решение


Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A2. A0 – центр окружности, описанной около треугольника A1A2B1; аналогично определяется точка C0. Найдите угол A0BC0.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

ВверхВниз   Решение


Даны окружность и точка A. Найдите геометрическое место середин хорд, высекаемых данной окружностью на всевозможных прямых, проходящих через точку A.

ВверхВниз   Решение


Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB, если AC = 3BD.

ВверхВниз   Решение


При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)2 + 3x + y = 2a?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 1224]      



Задача 78191

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Даны 12 чисел, a1, a2,...a12, причём имеют место следующие неравенства:

a2(a1 - a2 + a3) < 0
a3(a2 - a3 + a4) < 0
.........    
a11(a10 - a11 + a12) < 0

Доказать, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и 3 отрицательных.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78194

Темы:   [ Обратный ход ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78532

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 7

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)2 + 3x + y = 2a?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78538

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что любое чётное число 2n$ \ge$ 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)2 + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78562

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 1224]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .