Каталог по темам

Задачи

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 1221]

Задача 111321

Темы:	[	Инварианты	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Новодворская Е.А.

Василиса Премудрая решила запереть Кощея в прямом коридоре, разделенном тремя проходами на четыре комнаты, причем в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усталый стражник. Каждый раз, когда Кощей переходит из одной комнаты в другую, стражник переходит к противоположной стене и облокачивается на нее. Если все стражники облокотятся на одну стену, она не выдержит и рухнет, а Кощей выйдет на свободу. Может ли Василиса изначально так прислонить стражников и разместить Кощея, чтобы он никогда не смог выбраться?

Прислать комментарий Решение

Задача 61289

Темы:	[	Иррациональные уравнения	]
Темы:	[	Тригонометрические замены	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Решите уравнение

| 2x - $\displaystyle \sqrt{1-4x^2}$ | = $\displaystyle \sqrt{2}$ (8x² - 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 78672

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Двухсотзначное число 89252525...2525 умножено на число 444x18y27 (x и y — неизвестные цифры). Оказалось, что 53-я цифра полученного числа (считая справа) есть 1, а 54-я — 0. Найти x и y.

Прислать комментарий Решение

Задача 78818

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Необычные конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В городе "Многообразие" живут n жителей, любые два из которых либо дружат, либо враждуют между собой. Каждый день не более чем один житель может начать новую жизнь: перессориться со всеми своими друзьями и подружиться со всеми своими врагами. Доказать, что все жители могут подружиться.
Примечание. Если A — друг B, а B — друг C, то A — также друг C. Предполагается также, что среди любых троих жителей хотя бы двое дружат между собой.

Прислать комментарий Решение

Задача 86121

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С выпуклым четырехугольником ABCD проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам A, B, C, D, A, B,... - всего n раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после n<5 операций становится равным исходному;
б) такое число n₀, что любой допустимый четырехугольник после n=n₀ операций становится равным исходному?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 1221]