Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)
Найдите такое значение $a > 1$, при котором уравнение $a^x = \log_a x$ имеет единственное решение.
В треугольник ABC вписана окружность. Пусть x — расстояние от вершины A до касания окружности со стороной AB, BC = a. Докажите, что x = p - a, где p — полупериметр треугольника.
Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.
Dписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Известно, что AA1 = BB1 = CC1. Докажите, что треугольник ABC правильный.
Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 60o. Найдите диагонали трапеции, если AD = 10, BC = 3 и CD = 4.
Боковое ребро пирмиды разделено на 100 равных частей и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите отношение площадей наибольшего и наименьшего из получившихся сечений.
В треугольнике известны сторона a и два прилежащих к ней угла β и γ. Найдите биссектрису, проведённую из вершины третьего угла.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и углом α бокового ребра с плоскостью основания.
Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что около этой пирамиды можно описать сферу. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен r, высота равна h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.
Дана последовательность
..., a-n,..., a-1, a0, a1,..., an,...
бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен
суммы
двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть
бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про
которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?
В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное
количество монет достоинством в n1, n2, n3, ... копеек, где
n1 < n < 2 < n3 < ... – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n1, n2, ..., nN копеек.
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 81]
Задача 67027 |
|
|
Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины $2022$, состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательности совместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.
|
|
Решение |
Задача 67412 |
|
|
Для какого наибольшего $N$ существует $N$-значное число со свойством: в его десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз?
|
|
|
Решение |
Задача 78568 |
|
|
Дана последовательность
..., a-n,..., a-1, a0, a1,..., an,...
бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен
суммы
двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть
бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про
которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
|
|
Решение |
Задача 79464 |
|
|
В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное
количество монет достоинством в n1, n2, n3, ... копеек, где
n1 < n < 2 < n3 < ... – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n1, n2, ..., nN копеек.
|
|
|
Решение |
Задача 98458 |
|
|
Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 81]
