Каталог по темам

Выбрано 14 задач

Четыре точки окружности следуют в порядке: A, B, C, D. Продолжение хорды AB за точку B и хорды CD за точку C пересекаются в точке E, причём угол AED равен 60^o. Угол ABD в три раза больше угла BAC. Докажите, что AD — диаметр окружности.

Решение

Автор: Фольклор

На бесконечной во все стороны шахматной доске выделено некоторое множество клеток A. На всех клетках доски, кроме множества A, стоят короли. Все короли могут по команде одновременно сделать ход, заключающийся в том, что король либо остаётся на месте, либо занимает соседнее поле, то есть делает "ход короля". При этом он может занять и то поле, с которого сходит другой король, но в результате хода двум королям оказаться в одной клетке запрещается. Существует ли такое k и такой способ движения королей, что после k ходов вся доска будет заполнена королями? Рассмотрите варианты:
а) A есть множество всех клеток, у которых обе координаты кратны 100 (предполагается, что одна горизонтальная и одна вертикальная линии занумерованы всеми целыми числами от минус бесконечности до бесконечности и каждая клетка доски обозначается двумя числами – координатами по этим двум осям);
б) A есть множество всех клеток, каждая из которых бьётся хотя бы одним из 100 ферзей, расположенных каким-то фиксированным образом.

Решение

В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠A = ∠В = 60° и ∠СAВ = ∠CBD. Докажите, что AD + CB = AB.

Решение

Окружность с центром O проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает сторону AC в точке M и сторону BC в точке N. Углы AOM и BON равны 60^o. Расстояния от точки N до прямой AB равно 5 $\sqrt{3}$ . Отрезок MN в четыре раза меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Автор: Произволов В.В.

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.

в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

Решение

Автор: Ильичев В.

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

Решение

В параллелограмме KLMN сторона KL равна 8. Окружность, касающаяся сторон NK и NM, проходит через точку L и пересекает стороны KL и ML в точках C и D соответственно. Известно, что KC : LC = 4 : 5 и LD : MD = 8 : 1. Найдите сторону KN.

Решение

Через точку C проведены две прямые, касающиеся заданной окружности в точках A и B. На большей из дуг AB взята точка D, для которой CD = 2 и sin∠ACD·sin∠BCD = ¹/₃. Найдите расстояние от точки D до хорды AB.

Решение

Докажите, что сумма всех чисел вида ¹/_mn, где m и n – натуральные числа, 1 < m < n < 1986, не является целым числом.

Решение

Автор: Гуровиц В.М.

На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить k точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре.
Найдите наименьшее k, достаточное для любого исходного многоугольника.

Решение

В некоторой стране из столицы выходит 89 дорог, из города Дальний – одна дорога, из остальных 1988 городов – по 20 дорог.
Доказать, что из столицы можно проехать в Дальний.

Решение

Доказать, что любое чётное число 2n $\ge$ 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

Решение

Доказать, что в любой группе из 12 человек можно выбрать двоих, а среди оставшихся 10 человек еще пятерых так, чтобы каждый из этих пятерых удовлетворял следующему условию: либо он дружит с обоими выбранными вначале, либо не дружит ни с одним из них.

Решение

Задача 79443

Задача 79479

Задача 103767

Задача 105079

Задача 105163