Версия для печати
Убрать все задачи

---

С выпуклым четырехугольником ABCD проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам A, B, C, D, A, B,... - всего n раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после n<5 операций становится равным исходному;
б) такое число n₀, что любой допустимый четырехугольник после n=n₀ операций становится равным исходному?

   Решение

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111321

Темы:   [ Инварианты ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Василиса Премудрая решила запереть Кощея в прямом коридоре, разделенном тремя проходами на четыре комнаты, причем в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усталый стражник. Каждый раз, когда Кощей переходит из одной комнаты в другую, стражник переходит к противоположной стене и облокачивается на нее. Если все стражники облокотятся на одну стену, она не выдержит и рухнет, а Кощей выйдет на свободу. Может ли Василиса изначально так прислонить стражников и разместить Кощея, чтобы он никогда не смог выбраться?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61289

Темы:   [ Иррациональные уравнения ] [ Тригонометрические замены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Решите уравнение

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78672

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Двухсотзначное число 89252525...2525 умножено на число 444x18y27 (x и y — неизвестные цифры). Оказалось, что 53-я цифра полученного числа (считая справа) есть 1, а 54-я — 0. Найти x и y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78818

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Необычные конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В городе "Многообразие" живут n жителей, любые два из которых либо дружат, либо враждуют между собой. Каждый день не более чем один житель может начать новую жизнь: перессориться со всеми своими друзьями и подружиться со всеми своими врагами. Доказать, что все жители могут подружиться.
Примечание. Если A — друг B, а B — друг C, то A — также друг C. Предполагается также, что среди любых троих жителей хотя бы двое дружат между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86121

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Процессы и операции ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

С выпуклым четырехугольником ABCD проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам A, B, C, D, A, B,... - всего n раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли:
а) допустимый четырехугольник, который после n<5 операций становится равным исходному;
б) такое число n₀, что любой допустимый четырехугольник после n=n₀ операций становится равным исходному?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями