Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Каковы эти числа?

   Решение

а) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать восемь чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких девяти из выписанных на доске чисел.

б) На доске выписано 100 целых чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.

   Решение

Найти все значения x, y и z, удовлетворяющие равенству  (x − y + z)² = x² − y² + z².

   Решение

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?

   Решение

На плоскости α , проходящей через центр шара радиуса R , задана окружность с центром O1 и радиусом r1 , расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой A , принадлежащей шару и удалённой от плоскости α на расстояние R . Множество отличных от A точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью с центром O2 и радиусом r2 . Найдите расстояние от точки O2 до плоскости α , если расстояние между точками A и O1 равно a .

   Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 108]      

Ребро правильного тетраэдра равно a . Отрезок EF соединяет центр грани ADC с серединой ребра BC . Найдите радиус шара, вписанного в трёхгранный угол при вершине A и касающегося отрезка EF (найдите все решения).

Прислать комментарий

Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Докажите, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости α , проходящей через центр шара радиуса R , задана окружность с центром O1 и радиусом r1 , расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой A , принадлежащей шару и удалённой от плоскости α на расстояние R . Множество отличных от A точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью радиуса r2 , плоскость которой образует угол ϕ с плоскостью α . Найдите расстояние между точками A и O1 .

Прислать комментарий

Решение

На плоскости α , проходящей через центр шара радиуса R , задана окружность с центром O1 и радиусом r1 , расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой A , принадлежащей шару и удалённой от плоскости α на расстояние R . Множество отличных от A точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью с центром O2 и радиусом r2 . Найдите расстояние от точки O2 до плоскости α , если расстояние между точками A и O1 равно a .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 108]